研究数学的意义是什么？
导语：数学研究，究竟是以实际应用为目标，还是一小拨高智商人群的自娱自乐？数学的意义在何处？来自加州大学洛杉矶分校的Amir Alexander带你通过历史寻找答案。
1842年，著名的德国数学家雅可比（Carl Gustav Jacobi）受邀在曼彻斯特的一个学术会议发表演讲，他的一番话让在场的英国听众都大跌眼镜：“科学的最高荣耀，是无用。”面对着台下震惊的物理学家们，他继续说，科学的真正目标是“人类精神的荣光”，而最终能不能带来实际用途并不重要。
雅可比没能使大家改变看法。在跟他哥哥的通信中，他带着满意的口吻说，他的一番话让大家都“大摇其头”，毕竟英国作为欧洲制造业的首都，那里的科学家们自然也都是以促进工业进步为终身事业的。然而，雅可比周围的德国数学家们可不这样——他们都同意雅可比的观点，认为数学真理是独立存在的，不需要其他东西来证明。
确切地说，没人（包括雅可比）能否认在某些领域，数学是很有用的，而且正是数学让现代技术得以迅速发展。然而，在其他领域，包括一些最伟大的数学发现所在的领域，数学好像并不能提供任何形式的实际用途。
其实，数学的这个特点，自它诞生的时候就伴随着它了。几何学，作为最古老的科学之一，虽然其名字（geometry）告诉我们它起源于土地测量这一实用的技术，但到了公元前300年欧几里得将它总结编纂成《几何原本》的时候，它离实际应用已经很远了。举个例子，在《几何原本》第五卷的命题16提到了圆内接正15边形——那时候的实际生活中哪会用到正15边形呢？而谁又会用到阿基米德发明的那个计算抛物线所围的面积的聪明方法呢？
而到了现代，数学在非实用的道路上越走越远。与雅可比同时代的数学家伽罗瓦（?variste Galois，1812-1832）由于发现了用标准代数方法判断任意一个方程是否可解的方法而永垂不朽。这是数学史上的大事——然而这个方法是如此麻烦（伽罗瓦自己也坦然承认），以至于仅仅对一个方程作出判断，就可能耗费一个数学家一生的时间。同样是在19世纪，非欧几何诞生了。这个领域描绘了一个奇妙的世界，在这个世界里图形的形状取决于它们的体积。之后，康托尔又发现了无穷大的不同阶次，这在数学界引发了一场暴风骤雨，而对圈外人来说，只是一阵小小的涟漪罢了。
有的时候人们会说，在数学的某些领域，虽然研究时并没有以实际应用为目标，最终却产生了令始创者都没有想到的实际应用。然而，高等数学领域是例外：绝大多数的高等数学研究，自被发现以来，都一直保持着原初的状态，看不到任何投入实际应用的可能性。所以说，高等数学就仅仅是一群受过高度训练的专业人员玩的智力游戏吗？如果是这样，我们为什么还要在意这些成果呢？
对于这个问题，伟大的英国数学家G.H. 哈代，给出了一个答案：“如果非要给真正的数学赋予意义的话，那么只能将其看作是艺术。”这个回答可能会让雅可比感到高兴，但对于那些一心想要为数学找到一个实在用途的人们来说，或许并不会满意。
所以这里给出另外一个答案：数学是关于秩序的科学，而一直以来，人们都在用数学来规范他们的人生、社会和世界。
想想柏拉图的例子吧——这位古希腊哲学家曾经在自己的学园门口刻上这样的字样：“不懂几何者，不得入内。”他对几何学如此热爱，以至于不仅将它视为获得最高真理的典范，也视为获得他崇尚的政治秩序的基础。几何学中的每一件事都有着清晰、理性、不可动摇的位置，而柏拉图的理想国也是如此，在国家的阶级体系中，每一个人都有明确的位置。柏拉图设想的由哲学家统领的、等级严明的寡头政治体系放到今天或许会让大家感到排斥，然而从他所在的时代一直到今天，他的理想国对改革者们来说一直都是一个文明有序的社会范本。
使用几何学中的原理来构建有序社会和国家，这种想法到后世仍然有人采用。17世纪，耶稣会试图用几何原理的模型来改革天主教会体系，并以此支持教皇集权和不可动摇的等级制度。法国的路易十四国王也建造了如下充满各式各样几何图形、令人眼花缭乱的凡尔赛花园，作为自己权力的象征。花园中的每一块石头、每一朵花、每一棵草都严格遵照几何学规则，放在应放的位置，而所有的这一切都指向国王的宫殿——那是所有直线的焦点。
另一方面，反对等级制度的人们却乐于将数学作为自己的理论基础，为他们的事业贡献力量，积极发扬新的“等积原理”（method of indivisibles，又称“卡发雷利原理”）来代替死板的几何学。而这方面最典型的代表就是微积分。在微积分建立初期，它的原理看起来是有矛盾的，人们对它的了解也不完善，但它仍然产生了很多优美而强大的结论。对于追随者来说，微积分就是放下教条主义、直奔实际目标的典范。
数学不仅影响了政治，也影响了文化潮流的走向。19世纪早期，受浪漫主义运动影响，高等数学拒绝与自然世界相结合，转而走向另一个只由数学定理统治的世界。正像那个时期的浪漫主义画家、诗人和作曲家一样，数学家试图脱离充满缺陷的、堕落的现实生活，追寻一个由真理与美构成的完美天国。而到了20世纪初，非欧几何的发展颠覆了我们对真实世界看似不言而喻的假设，我们所处的欧几里得的世界竟然只是无穷可能性中的一种——这一发现大大影响了现代美术和文学，使它们摒弃了单一视角的叙述，开始采用多重视角。
这只是一个小小的例子，表明数学已经影响了一代又一代人的生活，但我希望它已经足够说明数学的确很重要。并不仅仅是因为数学的研究结果可能在某一天会派上用场，创造出先进的科技，也因为我们人类历史上的最高目标——对秩序和意义的寻求，永远将我们带回到数学的怀抱。
（作者：Amir Alexander，在加州大学洛杉矶分校任教；翻译：丁家琦；审校：朱佳莲）
- 发表于 2014-08-31 00:00
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