【Mathematica】绘制曲线曲率圆圆心的轨迹
工具/原料
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- Mathematica
方式/步骤
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假设曲线的参数方程是r[t]，先求出曲线的【单元切标的目的量】：
qie[t_] := Evaluate[D[r[t], t]/Sqrt[D[r[t], t].D[r[t], t]] // FullSimplify]
对参数方程求导，获得切标的目的量，再归一化处置，才是单元切标的目的量。
- 2
再求曲线的单元法标的目的量：
对【单元切标的目的量】求导，获得法标的目的量；
对法标的目的量进行归一化处置，获得单元法标的目的量。
dr[t_] := Evaluate[D[qie[t], t]]
fa[t_] := Evaluate[dr[t]/Sqrt[dr[t].dr[t]] // FullSimplify]
注重，必然是对【单元切标的目的量】求导才能获得法标的目的量，而若是直接对r[t]的导数求导，获得的一般不是法标的目的量。
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曲率半径曲直率的倒数：
qulvr[t_] := 1/ArcCurvature[r[t], t]
曲率中间，就是在法标的目的量的偏向上：
qulvzx[t_] := Evaluate[r[t] + qulvr[t]*fa[t]]
- 4
再把曲率圆画出来：
Circle[qulvzx[tt], qulvr[t] /. t -> tt]
这里要遵守一个求导原则：先求导，在赋值。
不然机械会报错。
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然后把曲率圆圆心轨迹画出来。
这个轨迹曲线的参数方程，恰好就是qulvzx[t]。
ParametricPlot[qulvzx[t], {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 1]]
而原曲线的参数方程是r[t_] := (Sin[2 t]) {Cos[t], Sin[t]}。
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改换原曲线的参数方程：
r[t_] := (Sin[3 t]) {Cos[t], Sin[t]}
这是一条三叶玫瑰线。
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三叶玫瑰线的极坐标方程，加上一个正数，会“膨胀”起来：
r[t_] := (1/3 *(2 + Sin[3 t])) {Cos[t], Sin[t]}
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当曲率中间完全位于闭曲线内部，且曲线是简单曲线，那么这条曲线必然是凸曲线：
r[t_] := (1/21 (20 + Sin[3 t])) {Cos[t], Sin[t]}
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再尝尝它：
(1/51 (50 + Sin[5 t])) {Cos[t], Sin[t]}
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若是一条平面闭曲线，自己不是简单曲线，就必然不是凸曲线。
(1/2 (1 + Sin[2 t])) {Cos[t], Sin[t]}
注重事项
- 文首的动态图，里面蓝色曲线的参数方程是{Cos[3 t], Sin[t]}。
- 发表于 2020-01-06 20:00
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