用Mathematica计算一类特殊矩阵的特征多项式

本文，用Mathematica来计算一种特殊的矩阵的特征多项式。这个矩阵的特点是，除了两条次对角线上的元素都是1之外，其余的元素都是0。

工具/原料

1
先来机关这种矩阵的界说：
f[n_] := Module[{A},
A = Table[0, n, n]; (A[[#, # + 1]] = 1) & /@
Range[n - 1]; (A[[# + 1, #]] = 1) & /@ Range[n - 1];
A]
2
我们来看看这种类型的6乘以6的矩阵的样子容貌。
MatrixForm[f[6]]
3
再界说矩阵对应的特性多项式，g[n]。
g[n_] := Module[{A}, A = Table[0, n, n];
(A[[#, # + 1]] = 1) & /@ Range[n - 1];
(A[[# + 1, #]] = 1) & /@ Range[n - 1];
Expand[Det[A - x*IdentityMatrix[n]]]]
4
查看当n不跨越10，所有的这种类型矩阵的特性多项式：
Column[g[#] & /@ Range[10]]
5
可是，这种无尽头的列举法，于此题没有什么益处。我们很难经由过程这一串式子，不雅察出多项式的纪律。
不外，这些多项式之间存在一种递归纪律：
Reduce[ForAll[x,(g[#]-(-x*g[#-1]+m*g[#-2])//Factor)&@9==0],m]
现实上，把9改为任何大于2的正整数，都有m=-1。
6
有了递归公式，初始前提也很容易计较，这样就可以算出通项公式：
RSolve[{a[n + 2] == -x*a[n + 1] - 1 a[n], a[1] == -x,
a[2] == x^2 - 1}, a[n], n] // Flatten // Values
这恰是这种n*n类型矩阵的特性多项式。
END