穿越地心，需要多久？
我国著名科幻作家刘慈欣曾经写过一部小说叫《地球大炮》，其中的“南极庭院工程”在漠河与南极之间挖了一条贯穿地球的弯曲隧道。
小说中还提到，如果从中国挖一条笔直的隧道，另一头的出口将是阿根廷。如果从这条笔直的隧道跳进去，需要花多长时间才能从另一头蹦出来呢？刘慈欣写道：
贝加纳来了兴趣：“……让我们看看：我跳进去后会一直加速，虽然我的加速度会随坠落深度的增加而减小，但确实会一直加速到地心，通过地心时我的速度达到最大值，加速度为零；然后开始减速上升，这种减速度的值会随着上升而不断增加，当到达地球的另一面阿根廷的地面时，我的速度正好为零。如果我想回中国，只需从那面再跳下去就行了，如果我愿意，可以在南北半球之间做永恒的简谐振动，嗯，妙极了，可是旅行时间……”
“让我们计算一下吧。”沈华北打开电脑。
计算结果很快出来了，以地球理想的平均密度，从中国跳进地球隧道，穿过直径一万两千多公里的地球，坠落到阿根廷，需42分钟12秒。
“快捷的旅行！”贝加纳高兴地说。
是的，42分钟12秒，这是科学家过去一致认同的简单估计，也是每个物理学的学生都要做的习题。
不过最近，有一位较真的科学家经过更精确的计算，从这个42分钟里又减去了4分钟，把答案变成了38分钟。也就是说，只需要花38分钟，你就能从另一头的阿根廷跳出来，也就是北京到天津一趟动车的时间啊。这篇论文发表在3月的American Journal of Physics期刊上。
物理老师之所以喜欢让学生们做这个习题，是因为它既涉及牛顿万有引力，又涉及一种简单但重要的简谐运动。学生们需要计算，掉入隧道的物体所受到的引力如何随着下落高度而变化。
为了计算这个问题，我们先要做出一些不那么切合实际的假设。我们假设：地球像一个台球一样，密度是均匀分布的，每立方米大约5500千克。在这种前提下，当你跳进隧道时，你受到的引力与你距离地球中心的距离有关。这是因为，当你不断下落时，位于你脚下的地球物质在不断的减少，而位于你头顶上的物质对你则失去了影响力。这时，学生们使用的模型称作“壳层定理”。
扩展阅读：
壳层定理(Shell Theorem)是古典重力学上的理论，其可简化重力于对称球体内部和外部的贡献，并且在天文学上有特别的应用。 壳层定理最先由牛顿在所推演出来，其阐明了：
1. 球对称物体对于球体外的重力贡献如同将球体质量集中于球心。
2. 在对称球体内部的物体不受其外部球壳的重力影响。
在这个模型里，由于你下落时受到的引力与你和地心的距离成比例，你会在这个隧道里来回穿梭，就像上下蹦跳的弹簧，也像来回晃动的钟摆。这个模型在教学中很好用，正是因为它是一个简单的简谐运动。
但实际情况却并不是这样的。我们都知道，地球的密度并不是均匀分布。地壳和地幔的密度较低，而地心的密度较高。所以，加拿大麦吉尔大学的物理学研究生Alexander Klotz开始思考，能不能建立一个更加准确的模型呢？Klotz说，他也不知道自己是如何开始思考这个问题的，不过他经常在reddit网站上回答网友提出的一些物理学问题，也许就在灵光乍现的一瞬间，他决定要重新计算一下。
为了获得更精确的地球质量分布，Klotz决定采用“初步参考地球模型”（PREM，Preliminary reference Earth model）。这个模型基于地震数据，考虑了一系列的地球性质，包括弹性、衰减、密度、压力和万有引力。在这个模型中，地球密度并不是一成不变的，而是随半径而增加，比如地表的密度低于1000千克/立方米，而在6371公里深的地核，密度升高到13000千克/立方米，并在地核的边缘（距地心3500公里处）有一个密度的突变。基于这个模型，Klotz得出了结论：落入“地球隧道”的物体，从另一边弹出来的时间是38分11秒，短于“均匀模型”预言的42分12秒。
Klotz还发现，如果我们假设物体下落过程中受到的万有引力恒等于在地表所受到的引力，那么答案会变成38分钟整。这种“引力恒定”的假设，需要地球的密度符合特殊的分布——随深度逐步稳定增加。当然，这种假设并不符合实际情况，因为地核的密度实际上是较稳定的，并不会随着深度变化。
那么，为什么“引力恒定”假说得出的答案与基于PREM模型的答案相差无几呢（只少了11秒）？Klotz解释说，这是由于地球的质量分布和引力随深度只有少量增加，基本上较为恒定，直到遇到地外核。从外核开始，引力会开始下降（这与得出42分12秒的模型类似）。但是，下落物体到达地核时，速度已经非常快了，因此通过地核的时间极其短，所以觉察不出太大的变化，也不会对结果产生很大影响。正如刘慈欣在《地球大炮》中所写道的：
这时，井壁发出的蓝光突然变成红色。
您现在已到达6300公里深度，速度8公里/秒，正在穿过地心！
耳机里响起了邓洋的声音：“你现在已达到可以飞出地球的速度，却正处在这个星球的中心，地球正在围着你旋转，所有的海洋和大陆，所有的城市和所有的人，都在围着你旋转。”
沐浴在这庄严的红光中，沈华北的脑海中又响起了音乐，这次是一首宏伟的交响曲，他以第一宇宙速度穿过这发着红光的地心隧道，仿佛漂行在地球的血管中，这使他热血沸腾。
邓洋又说：“虽然新固态材料有良好的绝热性能，现在你周围的温度仍超过了一千五百度，你的密封服中的冷却系统正在全功率运行。”
井壁的红光只延续了十多秒钟，又变回宁静的蓝光。
您已通过地心，现在正在上升，并开始减速。您已经上升了500公里，速度7.8公里/秒，仍在固态地核中。
由于穿越地心的时间非常短，所以，采用“引力恒定”的假说得出了38秒的结论，与更精确的模型差得并不多。
在《地球大炮》的最后，地球隧道被科学家改造成了一个长达6300公里的电磁线圈，落入其中的物体不再进行简谐运动，而是不断的加速，用来发射火箭，真正变成了“地球大炮”。主人公沈华北通过地球大炮来到太空，望着蔚蓝色的地球，想到了第一个到达地心的人、如今依然被困在地心铁镍流中的孙女沈静。此刻，她正驾驶着“落日六号”地航飞船，在地心永恒的漂流。想起来好孤单，还好，大刘在另一部小说《带上她的眼睛》中，讲述了深在地心的沈静，通过主人公的“眼睛”，游历了高山与草原，也算是给读者一点安慰。
这是小说家浪漫的幻想。说不定在未来，真有那么一天，我们能挖穿地球。到那时候，我们和阿根廷之间，只隔着一个北京到天津的动车距离。那么，为了到达那一天，让物理学的计算先带上我们的眼睛和幻想吧！
（编译：汪汪）
【参考文献】
[1]Adrian Cho. How long would it take you to fall through Earth? Science, 2015; DOI: 10.1126/science.aab0366; http://news.sciencemag.org/earth/2015/03/how-long-would-it-take-you-fall-through-earth?rss=1
[2]Alexander R. Klotz. The gravity tunnel in a non-uniform Earth. Am. J. Phys. 83, 231 (2015); http://dx.doi.org/10.1119/1.4898780
Am. J. Phys. 83, 231 (2015)
[3]刘慈欣. 《地球大炮》.
- 发表于 2015-03-30 00:00
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