非线性科学：浪花是如何产生的？
汪洋大海的波澜壮阔不知道成就了多少文章词句，尤其是那滚滚的波涛。钱塘江大潮每年都要吸引数千上万的游人。但你是否想过，为什么高耸的水墙会破碎成雪白的浪花呢？其实这个问题只是一个由头，我们真正想介绍的是一门学科——非线性科学和它的一个重要概念——孤子。
在牛顿的物理世界里，一切看起来都那么简约、直观。给出一个力，只要除上一个常数（质量）就能得到物体的加速度，这个物体去往何方就这么定下来了。但这似乎只是大自然这本深奥巨著的一个简单概要。一根弹簧在刚刚拉开的时候，它的拉力和张开长度是呈线性关系的，但拉的越长，需要的力量就开始呈现出指数的面貌。盐在水中的溶解快慢是这样，液体流速与液体密度的关系同样如此，就连我们人类掌握一门学科知识的速度也不是一条斜线。大自然似乎特别偏爱非线性，以至于让它包围了我们每一天的生活。
虽然非线性现象无处不在，但要想理清它的来龙去脉却绝非易事。非线性意味着变量的变化不仅与周围环境还与变量自身相关，可谓牵一发而动全身，描述它的方程更是让最顶尖的数学家都感到吃力。经过艰辛的探索，科学家们在非线性的重重迷雾中，隐约找到了一把开启宝库大门的金钥匙，它的名字就是孤子。孤子是非线性诸般效应中最引人注目的部分，它还包含了非线性系统大部分的信息，稍夸张地说，了解掌握了孤子，非线性系统就向你张开了热情的双臂。
1834年8月的某一天，英国著名的科学家、工程师约翰·斯科特·罗塞尔（John Scott Russel）正悠闲地在河道边骑马散步，两匹马卖力地拉着一条货船沿着狭窄的河道迅速前行。目的地到了，船随即停了下来。但河道内被船体带动的水团并没有停止，在翻腾的水花中有一个水浪呈现出一个滚圆而又平滑、轮廓分明的巨大孤立波峰，它以很快的速度向前滚动着离开了船头。在行进中它并没有像其他波浪一样很快就散开到水面下，而是保持着长约3英尺，高约1-1.5英尺的初始形状，以每小时8-9英里的速度滚滚向前。罗塞尔跟着这个特立独行的波浪走了1-2英里后，它才逐渐消失在逶迤的河道中。1844年9月，罗塞尔将这段经历写进了他在英国科学促进协会第十四届会议上所做的“论波动（On waves）”报告中。正是这段描写开启了孤立波的研究。
1895年荷兰著名数学家科特维格（D. Korteweg）和他的学生德弗雷斯（G. de Vries）首次从一种称作KdV方程的非线性偏微分方程中获得了描述孤立波的数学解。1965年美国普林斯顿大学的两位数学家克鲁斯卡（M. D. Kruskal）和扎布斯基（N. Zabusky）通过数值模拟的方法发现孤立波在相互碰撞后仍保持其波形和速度不变的现象。孤立波也因此获得了自己的名字——孤子（soliton）。
两强相遇，平衡中求生存
孤子是竞争的产儿，它从激烈的对抗中走来，诞生于最美妙的平衡中。非线性汇聚效应与色散效应的对抗产生出的孤子称作时间孤子，非线性汇聚效应与系统衍射效应对抗产生的取名叫空间孤子，而在增益与损耗相对抗的开放系统中产生的就是耗散孤子。现在让我们来近距离地看看它们激烈对抗的场面吧。
何为非线性汇聚效应？想象微风吹拂的海面，水面掀起层层碎浪，波光粼粼。忽然一阵劲风袭来，浪尖变陡，卷成一朵浪花扑向岸边。浪花的出现正是非线性汇聚效应的结果。由于劲风的作用，使得靠近浪尖部分的速度增加，而靠近下端的部分因为海水的阻滞作用而保持较低的前进速度，也就是同一波浪的传播速度呈现非线性分布。随着海浪前行，较高的部分开始往前倾，较低的部分往回缩，海水因此聚成了一堵墙，水墙越来越前倾，最终坍塌，卷起了美丽的浪花。
要解释色散效应则需要引入一些物理概念。在物理学家的眼中，无论多么复杂的浪包都可以看做大量相似的小浪包的叠加，从众多小浪包中挑出一个，你会发现它沿着前进方向周期地起伏前进，而如果你用和它相同的速度一块前行，你会看到你身边的这个小浪包始终保持着原来的样子，物理学家把这一现象称为“同相”，而这个前行速度就命名为“相速度”。所有相似的小浪包叠加形成的大浪包则具有自己的前行速度，即整个波群的速度，称为“群速度”。当这两个速度大小、方向不一致时，浪包就出现了色散效应。色散这个词的由来与牛顿有关，想想白光在三棱镜中分散成七个颜色的情景不正是因为七种颜色的光在棱镜中的传播速度不一致吗。色散效应的结果是波包逐渐的弥散、摊平开来。
如果理解了上面的两种效应，应该很容易发现它们两者的作用效果恰恰相反，一个使波汇聚，一个使波弥散。可以想见，当两种效应棋逢对手之时，波浪将能保持着初始的状态前行很久，直到某一方败下阵来。
另外两种孤子的产生原理也大致相同。如果说色散效应的结果是波形随时间的展宽，那么空间衍射效应的结果就是波形随空间的展宽。也就是说空间孤子可以理解为时间孤子在空间上的对应物。而耗散孤子的原理从字面上已可略知一二：波的能量在传播过程中不断地损失，而外界则不停地给波注入能量，如果收支平衡，那么孤子诞生。
大展宏图
孤子的名字中之所以有一个粒子的“子”字，就是因为它具有一些准粒子的性质。当两列，或者几列孤子波相遇并碰撞时，它们表现得就像弹性小球一样，碰撞的前后，它们依然保持着各自的波形和传播速度。正是因为孤子这种稳定性，孤子在1973年被考虑运用到光电信息传输中。这也正是它一展才华的地方。
网络应该已经成为人们最不愿离开的东西了吧。但基于电信号的传输网络却让想要享受上网冲浪的人们常常受到搁浅的困扰。网络能不能像火车一样也迎来一次提速呢？能。不过，得换一个名字--光网络。所谓光网络就是将光纤作为传输载体的网络。因为不同频率的光波可以在细小的光纤中相处融洽，所以光网络将具有超大的容量和丰富的接口。按一根光纤传送96个波长，每个波长承载19G信号计算，光网络的容量将达到960G[1]。
不过光有超大的容量还不够。如果输出来的信息与输入的信息完全不同，那无疑是一场灾难。而要想在自然界中找到不让光波出现损耗、色散的波导材料实在是难上加难。这些效应中的任何一个都足以使光波中携带的信息在长距离传输后变得面目全非、无法识别。幸好，我们找到了不为世事所动的孤子。根据孤子的产生条件，工程师可以通过调整光纤材料的掺杂浓度、纤芯半径等参数使光纤具有非线性效应，让光波在光纤中以孤子的形式传播。因为孤子间互不相扰，因此可以使光脉冲的间隔很小而不至于发生重叠，从而使信息的传输速率提高到每秒兆比特。如此的高速意味着传送世界上最大的图书馆--美国国会图书馆的全部藏书只需要100秒的时间。而且，最重要的是孤子信号的误码率大大低于普通光纤，甚至可实现误码率低于10-12（误码率=（传输中的误码/所传输的总码数）*100%）的无差错光纤通信[2]。
孤子并没有止步于光电领域，它的研究已经扩展到了流体力学、等离子物理等多个领域，让我们期待它更精彩的表现。
倔强的性格，多彩的人生
孤子看起来是一个倔强、不喜欢改变的家伙，不过近几年的研究却发现它包含着丰富的可能。如果在孤子传播的背景中，也就是海浪传播的海平面上，或者光波传播的光波导中加入微小的调制信号，一列不起眼儿的小波，或者微弱的背景噪声，孤子的振幅可能会在某一时刻突然陡增，随即又消失不见。科学家们给它们取了一个贴切的名字——“怪波（rogue wave）”。怪波很有可能就是众多匪夷所思的海难的罪魁祸首，而刚刚所描述的情况正是怪波形成的一种可能机制。物理学家和数学家们的工作正努力揭开这诡异现象的神秘面纱。
而耗散孤子的研究也正变得越来越有趣起来。在一类新近发现的，称作时空反演对称系统（parity-time symmetric system）的增益-损耗系统中，行走在平衡边缘的孤子展现出了突增、振荡、劈裂以及弯折等令人眼花缭乱的性质。
随着各个领域研究的深入，表面波澜不惊的孤子正向我们讲述它波澜壮阔的人生，透过它的故事，神秘的非线性世界变得可以理解、可以掌控，甚至可以为我们所用。你需要做的就是像罗塞尔一样，静静地追随它，紧紧地盯着它。
- 发表于 2015-05-22 00:00
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